İki grup karşılaştırmasında örneklem hesabı çoğu araştırmacıya tanıdık; Cohen's d'yi belirleyip G*Power'da t-testini seçmek, α ve gücü girmek yetiyor. Ama çalışmada üç tedavi kolu olduğunda akla yatkın görünen bir kestirme yol beliriyor: "İki grup için bulduğum sayıyı üçle çarpsam yeter." Bu yaklaşım yanlış ve sık yapılan bir hata.
Çok gruplu çalışmalarda test edilen hipotez, etki büyüklüğü ölçüsü ve güç hesabının mantığı farklı. ANOVA "grupların en az ikisi arasında fark var mı?" sorusunu soruyor; bu omnibus hipotez, iki grup karşılaştırmasından temelden ayrılıyor. Üç ve üzeri gruplu tasarımlarda örneklem büyüklüğü hesabı Cohen's f'in belirlenmesiyle başlıyor ve G*Power'da doğru testin kurulması ve kayıp payının eklenmesiyle tamamlanıyor.
Neden farklı?
Üç temel neden var. Birincisi hipotezin kendisi. İki grupta "A ile B arasında fark var mı?" sorulurken, ANOVA'da "grupların en az ikisi farklı mı?" soruluyor. Bu omnibus hipotez grup ortalamaları arasındaki genel varyasyondan besleniyor ve etki büyüklüğü ölçüsünü de değiştiriyor; Cohen's d yerine Cohen's f devreye giriyor.
İkincisi serbestlik dereceleri. Üç gruplu ANOVA'da pay serbestlik derecesi 2, beş grupta 4. Serbestlik derecesi arttıkça aynı etkiyi saptamak için daha fazla katılımcı gerekiyor.
Üçüncüsü, ANOVA'nın anlamlı çıkması bir bitiş noktası değil. Hangi grupların farklı olduğunu bulmak için post-hoc karşılaştırmalar yapılıyor ve çoklu karşılaştırma düzeltmeleri alfa düzeyini düşürüyor; bu düşüş de örneklem gereksinimine yansıyor.
Cohen's f: çok gruplu etki büyüklüğü
İki grup karşılaştırmasında, iki ortalama arasındaki farkın standart sapmaya oranı olan Cohen's d kullanılıyor. Üç ve üzeri grupta "iki ortalama arasındaki fark" kavramı yetersiz kalıyor; birden çok grup ortalaması ve bunların genel ortalamadan sapmaları söz konusu. Cohen's f tam olarak bunu, yani grup ortalamalarının genel ortalamadan standartlaştırılmış sapmasını ölçüyor. İki grubun eşit büyüklükte olduğu özel durumda f = d / 2 ilişkisi geçerli.
Cohen'in (1988) geleneksel sınıflandırmasına göre f = 0,10 küçük etki (gruplar arası fark gözle zor seçilir), f = 0,25 orta etki (dikkatli bir gözlemcinin fark edebileceği), f = 0,40 büyük etki (belirgin ve güçlü fark); Cohen bu eşikleri alana özgü veri yokken başvurulacak kaba ölçüler olarak öneriyor.
Etki büyüklüğünü belirlemenin en güvenilir yolu benzer çalışmaların sonuçlarından yola çıkmak. En pratik dönüşüm, yayımlanmış bir çalışmada raporlanan η² (eta-kare) değerinden yapılıyor:
f = √(η² / (1 − η²))
Yalnızca F istatistiği ve serbestlik dereceleri verilmişse, önce η² = (F × df_pay) / (F × df_pay + df_hata) ile eta-kare elde ediliyor; burada df_hata toplam N değil, N − k (k, grup sayısı). Bu ayrım küçük örneklemlerde önemli fark yaratıyor. Dönüşümlerin ayrıntısını etki büyüklüğü hesaplama yöntemleri yazımızda ele aldık.
Uyarı
Cohen's f hesaplarken sık yapılan hata, grup ortalamalarının varyansını örneklem büyüklüğüyle ağırlıklandırmamak. Eşit grup büyüklüklerinde sorun olmuyor ama dengesiz gruplarda ağırlıklı hesap zorunlu. Ayrıca Cohen's f, ANOVA'nın omnibus testinin etki büyüklüğünü ölçüyor; belirli ikili karşılaştırmalar için yine Cohen's d kullanılmalı.
G*Power ile hesaplama: temel senaryolar
G*Power çok gruplu tasarımlar için kapsamlı seçenekler sunuyor; doğru menü ve parametre seçimi güvenilir sonucun ön koşulu.
Tek yönlü ANOVA (üç ve üzeri bağımsız grup). En temel senaryo. G*Power'da Test family → F tests, Statistical test → ANOVA: Fixed effects, omnibus, one-way, Effect size f → örneğin 0,25, alfa → 0,05, Power → 0,80, Number of groups → grup sayısı.
Orta etki (f = 0,25) ve standart parametrelerle üç grupta grup başına 53 ile toplam 159, dört grupta grup başına 45 ile toplam 180, beş grupta grup başına 40 ile toplam 200 katılımcı çıkıyor. Dikkat çekici olan, grup sayısı arttıkça grup başına gereken sayının azalması ve toplam örneklemin büyümesi.
Tekrarlı ölçümler ANOVA (karma tasarım). Gruplar arası ve grup içi faktörlerin bir arada olduğu tasarım. G*Power ek parametreler istiyor: ölçüm sayısı, tekrarlı ölçümler arası korelasyon (bilinmiyorsa 0,50 makul bir varsayım) ve küresellik düzeltme katsayısı (G*Power'da "Nonsphericity correction ε"; küresellik varsayımı ihlal ediliyorsa 1'in altında bir değer). Kişi içi korelasyon, grup içi etkiler ve etkileşim için gücü artırıp gereken toplam örneklemi azaltıyor, ama gruplar arası ana etki için gereken örneklemi büyütüyor; küresellik ihlali ise güç kaybına yol açıyor.
Faktöriyel tasarım. İki veya daha fazla faktörün birlikte incelendiği tasarımlarda her etki için ayrı güç hesabı gerekiyor. 2×3 tasarımda A ana etkisi (df = 1), B ana etkisi (df = 2) ve A×B etkileşimi (df = 2) ayrı ayrı değerlendiriliyor; G*Power'da Number of groups alanına toplam hücre sayısı (2×3 için 6) giriliyor.
Çok gruplu güç analizi: karar adımları
Birincil hipotezi netleştir
Asıl soru omnibus test mi (gruplar arasında herhangi bir fark) yoksa belirli bir ikili karşılaştırma mı; güç analizi buna göre kuruluyor.
Cohen's f değerini belirle
Literatürdeki Cohen's d veya η² değerleri f'e dönüştürülüyor: eşit büyüklükteki iki grupta f = d/2; η²'den f = √(η² / (1 − η²)).
G*Power'da doğru testi seç
Tek yönlü ANOVA için F tests > ANOVA one-way; faktöriyel için ANOVA special (main effects and interactions); tekrarlı ölçümlerde birincil hipoteze göre between factors, within factors ya da within-between interaction seçiliyor.
Dengeli/dengesiz tasarıma karar ver
Tüm karşılaştırmalar eşit önemdeyse eşit grup büyüklüğü genellikle en verimlisi; dengesiz tasarımda grup büyüklükleri G*Power'ın etki büyüklüğü penceresine girilerek hesap yapılıyor.
Post-hoc düzeltmeyi hesaba kat
ANOVA sonrası ikili karşılaştırmalarda Bonferroni gibi düzeltmeler alfayı düşürüyor ve bu düşüş ek örneklem gerektiriyor.
Kayıp oranını ekle
Net sayının üzerine çalışma tipine ve takip süresine uygun bir kayıp payı ekleniyor; en yüksek kayıp beklenen gruba göre planlamak güvenli.
Dengeli ve dengesiz tasarım
Tüm ikili karşılaştırmalar eşit önemdeyse her gruba eşit sayıda katılımcı atamak (dengeli tasarım) genellikle en verimli yaklaşım; aynı toplam örneklemde ikili karşılaştırmalar için daha yüksek güç sağlıyor. Dengeli tasarım ayrıca varyans homojenliği varsayımı ihlal edildiğinde sağlamlığı artırıyor. Ama pratikte eşit gruplar her zaman mümkün olmuyor. Nadir hastalık grupları doğal olarak küçük, bazı tedavi kolları pahalı, retrospektif verilerde dağılım kendiliğinden dengesiz.
Dengesizliğin güce etkisi göz ardı edilemez, ama bu etki hangi grubun büyütüldüğüne ve beklenen ortalama desenine bağlı. Harmonik ortalamaya dayanan yaygın bir yaklaşımla hesaplandığında, üç gruplu bir çalışmada 1:1:1 yerine 1:1:2 oranı toplam örneklem ihtiyacını yaklaşık %11, 1:1:3 oranı yaklaşık %30, 1:1:5 oranı ise yaklaşık %71 artırıyor. Gerçek değer ortalama desenine göre bundan küçük de, çok daha büyük de olabiliyor; ortalaması diğer ikisinden ayrışan grup büyütüldüğünde dengesizlik gücü artırabiliyor bile.
Yine de dengesizlik her zaman dezavantaj değil. Nadir hastalık araştırmalarında hasta grubunu büyütmek mümkün olmadığında kontrol grubunu büyütmek (1:2 ya da 1:3 oranı) toplam gücü yükseltiyor; 20 hasta bulunabiliyorsa 40 ya da 60 kontrol almak mantıklı bir strateji; 1:3–1:4 oranından sonra kazanç belirgin biçimde küçülüyor. Dengesiz gruplarda G*Power'ın etki büyüklüğü penceresine grup büyüklükleri ayrı ayrı girilerek ağırlıklı f hesaplanabiliyor; karmaşık dengesiz tasarımlarda Monte Carlo simülasyonu en esnek yol.
Faktöriyel tasarımlarda etkileşim etkisi
Faktöriyel tasarımlarda güç analizinin sık gözden kaçan bir yönü, etkileşim etkisinin ana etkilerden daha fazla örneklem gerektirebilmesi. Farkların farkı (bir faktörün etkisinin öbür faktörün iki düzeyi arasında ne kadar değiştiği) ana etkideki ortalama farka eşit olsa bile, 2×2 tasarımda etkileşimi saptamak ana etki için gerekenin yaklaşık dört katı örneklem istiyor (Leon ve Heo, 2009); etkileşim daha küçükse bu oran daha da büyüyor. Bunun nedeni, aynı ham farkın etkileşimde yarı büyüklükte bir Cohen's f'e karşılık gelmesi; f cinsinden eşit etkilerde G*Power iki test için aynı örneklemi veriyor. 2×3 tasarımda 6, 3×3 tasarımda 9, 2×2×3 tasarımda 12 hücre oluşuyor ve her hücrede yeterli katılımcı bulunmalı. Hücre başına sayıyı kaba kurallar değil, ilgili etkinin güç analizi belirliyor.
Araştırmanın birincil hipotezi hangi etkiyle ilgiliyse örneklemi o etkinin gereksinimine göre belirlemek gerekiyor. Her etki için ayrı güç hesaplayıp en büyük örneklemi gerektireni hedeflemek, tüm etkilerin yeterli güçle test edilmesini sağlıyor. Temel prensipleri örneklem büyüklüğü hesaplama yazımızda ayrıntılı ele aldık.
İpucu
Faktöriyel tasarımlarda etkileşim etkisini saptamak, ana etkilere kıyasla belirgin biçimde daha fazla örneklem gerektirebiliyor; farkların farkı ana etkideki ortalama farka eşitken bile 2×2 tasarımda yaklaşık dört kat. Etkileşim birincil hipotezin konusuysa ve planlama ana etkiye göre yapıldıysa çalışma büyük olasılıkla yetersiz güçte kalıyor. Güç analizini doğrudan etkileşim için yapıp gereken en büyük örneklemi hedeflemek gerekiyor.
Post-hoc güç analizi tuzağı
Çok gruplu çalışmalarda sık karşılaşılan bir uygulama, "ANOVA anlamsız çıktı, acaba yeterli güçte miydik?" sorusuyla yapılan post-hoc güç analizi. Bu yaklaşım yanıltıcı; çünkü gözlenen etki büyüklüğü p değerinin doğrudan fonksiyonu. p büyükse (anlamsız sonuç) gözlenen etki küçük ve hesaplanan güç düşük çıkıyor, p küçükse güç yüksek. Yani post-hoc güç, p değerinin dönüştürülmüş bir tekrarı olduğu için yeni bilgi vermiyor.
Yerine ne yapılmalı? Etki büyüklüğünün güven aralığını raporlamak (bulgunun kesinlik derecesini gösteriyor), duyarlılık analizi yapmak (mevcut örneklemin saptayabileceği en küçük etkiyi hesaplamak) ve a priori güç analizini makalede sunmak. Konuyu post-hoc güç analizi yazımızda ayrıntılı ele aldık.
Raporlamada şeffaflık
Makalenin yöntem bölümünde güç analizi raporlanırken yazılımın adı ve sürümü, test türü, Cohen's f değeri ve kaynağı, alfa düzeyi, hedeflenen güç, grup sayısı, tahsis oranı ve gerekçesi, toplam örneklem büyüklüğü ve kayıp düzeltmesi bekleniyor. Tek bir etki büyüklüğüne bağlı kalmak yerine farklı f değerleri (küçük, orta, büyük) için gereken örneklemleri bir tabloda sunmak, etik kurulun ve hakemlerin değerlendirmesini kolaylaştırıyor.
Model İstatistik olarak çok gruplu çalışmaların güç analizi aşamasında araştırmacılara destek verirken en sık karşılaştığımız durum, iki grup için hesaplanan sayının grup sayısıyla çarpılması oluyor. Bu yol yanlış; çünkü ANOVA'nın güç yapısı t-testinden farklı ve gruplar arası varyans örüntüsü basit çarpmayla yakalanamıyor. Doğru bir Cohen's f değeriyle yapılan G*Power hesabı ise çalışmanın temelini sağlam kuruyor.
Not: Buradaki örneklem değerleri omnibus F testi, α = 0,05 ve güç 0,80 için G*Power çıktılarıdır; tasarımın tam yapılandırmasına göre az miktarda değişebilir. Dengesizlik örneği harmonik ortalama yaklaşımına dayanır. Kesin planlama, çalışmanın kendi tasarımı üzerinden yapılır.
Kullanılan kaynaklar
- Cohen J. Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences. 2. baskı. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum; 1988.
- Faul F, Erdfelder E, Lang AG, Buchner A. G*Power 3: a flexible statistical power analysis program for the social, behavioral, and biomedical sciences. Behavior Research Methods. 2007;39(2):175-191. · DOI
- Leon AC, Heo M. Sample sizes required to detect interactions between two binary fixed-effects in a mixed-effects linear regression model. Comput Stat Data Anal. 2009;53(3):603-608. PMID 20084090